鑽石舞台

摘

要

01

金融學會議的每篇論文通常都有一個 discussant，負責對論文提出建設性意見。在金融學頂會上，discussant 的發言比原報告更加精彩的情況也並不罕見。而如果當 discussant 是 Bryan Kelly 時，上述情形就幾乎一定會出現。

近日，Kelly 又「火力全開」了（對了，我老早之前又被 Kelly 圈粉了）。

02

在前不久的 NBER SI 2022 的 Asset Pricing Session 中，Lopez-Lira and Roussanov (2022) 匯報了一篇題為 Do common factors really explain the cross-section of stock returns? 的文章。文章的結論非常抓人眼球，他們拒絕了 APT：

他們是怎麼得出這樣的結論呢？分三步：

1. 從 APT 出發，解釋預期收益的因子應該和資產收益率的 COV 矩陣有關，因此 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 使用日收益率並通過 PCA 構造了隱性風險因子；

2. 該文進而基於大量公司特徵並使用 Random Forest 構造了 test assets；

3.最後，該文利用 test assets 構造了關於隱性因子中性（即無暴露）的投資組合，獲得了顯著的超額收益，因此他們拒絕了 APT。

上述邏輯似乎看上去沒有什麼毛病。而如果這個結論成立，那就意味着「沒有，都是」。有意思的是，這並不是兩位作者第一次匯報這項研究。然而「不幸的是」，這回等待着他們的是 Bryan Kelly。

03

本節我們就跟着 Kelly 的 slides 看看這篇論文的實證結果和結論到底有什麼問題。

Kelly 首先用三頁 slides 總結了該文的結果（如下）。這部分沒啥可說的，我也不多做 comment。

接下來就是關鍵的，Kelly 開始討論該文的結論。首先，他指出所有人（尤其是研究資產定價的人）都知道，我們總能找到 benchmark model 無法解釋的 test assets 從而拒絕 benchmark model，所以這並不新鮮。但是，拒絕 APT 這個表述是不準確的，可以說拒絕了某個多因子模型，但是不能說拒絕了 APT。此外，在 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 的實證結果中，最令他擔憂的並非 benchmark model 無法解釋 test assets 的預期收益率，而是通過 PCA 構造的這個 benchmark model 裡面的因子的 risk premium 全都是零。

下表展示了Lopez-Lira and Roussanov (2022) 中因子的 risk premium。

在 Kelly 看來，factor risk premium 都是零（if true）才是 real main result。可惜的是，這個 if 要打一個大大的問號。之前大量的實證結果已經表明，很多能夠解釋資產共同運動的因子的 risk premium 都顯著不為零。難道是那些文章錯了嗎？還是這篇文章的 PCA 實證有什麼問題？對此，Kelly 認為該文的因子存在 inconsistent conditioning information 問題（這絕對是 Kelly 這個 discussion 的 WOW moment）。

04

結合下面這張 slide 來理解一下 inconsistent conditioning。由資產定價理論可知，資產的條件預期收益率由資產和 SDF 的條件協方差決定（下圖中的公式）。而在 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 一文中，用來預測預期收益率（即構造 test assets）的 information set 是大量的公司特徵，反觀用來計算隱性因子的信息僅僅是日收益率。這就是不一致性所在。

單純利用日收益率並通過 PCA 來構造隱性因子，這是得到 factor risk premium 為零這個錯誤結論的直接原因。具體而言，這裡面存在兩個問題：（1）估計因子溢價時存在大量誤差；（2）公司特徵中涵蓋了大量預測未來（對，這裡關注的是，而不是預期收益率）的預測信息，如果僅僅使用日收益率則完全忽視了它們。

關於第一點，感興趣的小夥伴可以找一些 random matrix theory（RMT）的資料看看（比如 Lettau and Pelger 2020）。簡單的說就是基於日收益率的 PCA 很難準確估計因子的 risk premium。下面是我做的一個小實驗，在實驗中假設已知收益率的 data generating process 並利用樣本數據估計 30 個資產的 COV 矩陣。由於 DGP 已知，因此 population COV 矩陣已知，這允許我們計算樣本 COV 矩陣和 population COV 矩陣的誤差。下圖的橫坐標表示 sample size，縱坐標表示估計誤差（通過對 10000 個 simulation 結果取均值計算）。可以看到，對於僅僅 30 個資產的 COV 矩陣的估計，需要這個量級的 sample size 才能準確估計。

更關鍵的是，上面這個還僅僅是 COV 矩陣的估計誤差，而非基於樣本 COV 矩陣進行 PCA 分析的誤差。RMT 的相關研究表明，當 sample size 有限的時候，基於樣本 COV 進行 PCA 得到的特徵向量和總體特徵向量之間的夾角在 80 度以上（幾乎垂直了）。PCA 了個寂寞。

另外，Kelly 關於第一點的討論也讓我想起了 Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 的 Bayesian estimator，而估計誤差正是她們提出 Bayesian estimator 的動機。感興趣的小夥伴請參考《Bayesian Two-Pass Regression》。

對於第二個問題，Kelly, Moskowitz, and Pruitt (2021) 指出，公司特徵能夠有效預測未來的beta，因此僅僅基於日收益率會丟失掉大量的信息。關於如何解決 inconsistent conditioning 問題，Kelly 建議參考他和合作者提出的 IPCA 方法（Kelly, Pruitt, and Su 2019）。

最後，Kelly 對該文的結論進行了總結。在他看來，聲稱拒絕了 APT 為時尚早（且是錯誤的），而該文最大的問題 —— 正如上面所述 —— 是 risk factor 的 risk premium 為零。對於任何一篇實證資產定價研究來說，這樣的結果應該是一個 red flag，它表明 latent factor estimator 並沒有想象的那麼美好。

05

如果 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 的實證結果沒問題，那麼它意味着人們可以找到並利用解釋預期收益而和資產波動無關的因子，即「全是，沒有」，這將和 Kozak, Nagel, and Santosh (2018) 基於「市場中不存在近似無風險套利機會」這一假設得出的結論相左，也和過去幾十年大量的實證結果相矛盾。

最後，Kelly 以「Extremely thought provoking paper! I learned a lot.」 結束了他的討論。和 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 這篇文章相比，Kelly 的觀點無疑更加精彩，而大佬之間思維的碰撞和毫不敷衍的深刻討論也正是推動金融學發展的驅動力。

Kelly rocks!

參考文獻

Bryzgalova, S., J. Huang, and C. Julliard (2020). Bayesian solutions for the factor zoo: We just run two quadrillion models. Working paper.

Kelly, T. B., T. J. Moskowitz, and S. Pruitt (2021). Understanding momentum and reversal. Journal of Financial Economics 140(3), 726 – 743.

Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su (2019). Characteristics are covariances: A unified model of risk and return.Journal of Financial Economics134(3), 501 – 524.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models.Journal of Finance73(3), 1183 – 1223.

Lopez-Lira, A. and N. Roussanov (2022). Do common factors really explain the cross-section of stock returns? Working paper.

Lettau, M. and M. Pelger (2020). Estimating latent asset-pricing factors.Journal of Econometrics218(1), 1 – 31.

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