數據結構和算法 - 626，買賣股票的最佳時機 III（動態規劃解決）－鑽石舞台

問題描述

來源：LeetCode第123題

難度：困難

給定一個數組，它的第i個元素是一支給定的股票在第i天的價格。設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成兩筆交易。

注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

示例 1:

輸入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

輸出：6

解釋：在第 4 天（股票價格 = 0）的時候買入，在第 6 天（股票價格 = 3）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 3-0 = 3 。

隨後，在第 7 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 8 天（股票價格 = 4）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 4-1 = 3 。

示例 2:

輸入：prices = [1,2,3,4,5]

輸出：4

解釋：在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。

注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之後再將它們賣出。

因為這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。

示例 3:

輸入：prices = [7,6,4,3,1]

輸出：0

解釋：在這個情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤為 0。

示例 4:

輸入：prices = [1]

輸出：0

提示：

1<=prices.length<=10^5

0<=prices[i]<=10^5

動態規劃解決

這題讓求的是股票最多交易兩次的情況下所能獲取的最大利潤，我們定義dp[i][j]表示在j天結束之後最多交易i次所能獲得的最大利潤。很明顯i只能是0，1，2。表示要麼沒有交易，要麼交易一次，要麼交易兩次，但不能超過兩次，dp的定義如下

int[][] dp = new int[3][prices.length];

在第j天的時候我們可以選擇不進行任何交易，那麼，當天結束之後的利潤也就是前一天的利潤。

dp[i][j]=dp[i][j-1];

在第j天的時候我們可以選擇賣出一支股票，那麼既然能賣出，說明在之前我們肯定買過一支股票，那麼當天結束之後的利潤是

dp[i][j]=prices[j]-prices[k]+dp[i-1][k-1],k=[0..j-1]

prices[j] - prices[k]表示的是在第k天買入一支股票，然後再第j天把它給賣掉所獲得的利潤，其中k的範圍是0…j-1。買一次賣一次算一次完整的交易，dp[i-1][k-1]表示的是在前k-1天最多進行i-1次交易所獲得的的最大利潤。

所以第j天我們可以選擇賣出一支股票也可以選擇不進行任何操作，取最大值即可，所以遞推公式如下

dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],prices[j]-prices[k]+dp[i-1][k-1]);

我們來看下完整代碼，

publicintmaxProfit(int[]prices){int[][]dp=newint[3][prices.length];//k是交易的次數，從1開始，如果是0表示沒有交易，這個不需要計算for(inti=1;i<=2;i++){for(intj=1;j<prices.length;j++){for(intk=j-1;k>=0;k--){intmax=0;if(k==0){//遞推公式的邊界條件判斷，k等於0表示在第一天買入，第j天賣出，這種情況下我們最多//進行一次股票交易，所以不需要dp[i - 1][k - 1]。max=Math.max(dp[i][j-1],prices[j]-prices[k]);}else{//遞推公式//要麼第j天不進行任何操作，要麼第j天賣出一支股票。如果賣出股票我們需要找到賣出//股票的最大利潤（注意這裡k不一定是買入股票最低價的那天，這裡的最大利潤還需要//包含前面交易的利潤，所以是prices[j]-prices[k]+dp[i-1][k-1]）max=Math.max(dp[i][j-1],prices[j]-prices[k]+dp[i-1][k-1]);}dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],max);}}}returndp[2][prices.length-1];}

上面代碼時間複雜度比較高，是k*n^2，k是最大交易次數也就是2，n是數組長度。我們再來看一下上面的代碼

prices[j] - prices[k] + dp[i - 1][k - 1]

在確定第j天是否要賣出股票的時候，我們可以把

- prices[k] + dp[i - 1][k - 1]

看做是前j-1天買入一支股票的最大利潤。我們只需要記錄這個最大利潤即可，不需要每次重新計算一遍，來看下代碼

publicintmaxProfit(int[]prices){int[][]dp=newint[3][prices.length];//k是交易的次數，從1開始，如果是0表示沒有交易，這個不需要計算for(inti=1;i<=2;i++){intmax=Integer.MIN_VALUE/2;for(intj=1;j<prices.length;j++){//記錄前j-1天買一支股票的最大利潤max=Math.max(max,dp[i-1][j-1]-prices[j-1]);//dp[i][j-1]表示第j天沒有任何操作的最大利潤，prices[j]+max//表示第j天賣出一支股票的最大利潤dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],prices[j]+max);}}returndp[2][prices.length-1];}

動態規劃的另一種解法

動態規劃相關的題怎麼解，主要看狀態的定義。上面我們定義的是二維數組，這裡我們還可以定義一個三維數組。

定義dp[i][j][k]表示在第i天交易結束後，最多進行j次交易所獲得的最大利潤。注意這裡的k要麼是0，要麼是1。0表示手裡沒有股票，1表示手裡有一支股票。

dp[i][j][0]：表示第i天交易結束之後，最多進行j次交易，並且手裡沒有股票的最大利潤。

dp[i][j][1]：表示第i天交易結束之後，最多進行j次交易，並且手裡持有股票的最大利潤。

那麼在當天結束之後我們會有6種狀態

1，沒有進行過任何交易，利潤永遠為0

dp[i][0][0]=0

2，賣出過一次股票（完成一次交易），但目前手上沒有股票：可能是今天賣出，也可能是之前賣的（注意：買一次賣一次才能算一次完整的交易）

dp[i][1][0]=max(dp[i-1][0][1]+prices[i],dp[i-1][1][0])

3，賣出過兩次股票（完成兩次交易），但目前手上沒有股票：也可能是今天賣的，也可能是之前賣的。

dp[i][2][0]=max(dp[i-1][1][1]+prices[i],dp[i-1][2][0])

4，沒有賣出過任何股票，但目前手上持有股票：可能是今天持有的，也可能是之前持有的

dp[i][0][1]=max(dp[i-1][0][0]-prices[i],dp[i-1][0][1])

5，賣出過一次股票（完成一次交易），但目前手上持有股票：可能是今天持有的，也可能是之前持有的

dp[i][1][1]=max(dp[i-1][1][0]-prices[i],dp[i-1][1][1])

6，賣出過兩次次股票（完成兩次交易），但目前手上持有股票：由於最多交易2次，這種情況是無效的

dp[i][2][1]：無效

有了上面的遞推公式，我們再來看一下base case，第一天的時候我們要麼買一支股票，要麼什麼也不做，所以

dp[0][0][0] = 0;//第一天沒進行任何買賣 dp[0][0][1] = -prices[0];//第一天買入一支股票 //第一天不可能有下面4種情況，所以是無效的 dp[0][1][0] = Integer.MIN_VALUE / 2; dp[0][1][1] = Integer.MIN_VALUE / 2; dp[0][2][0] = Integer.MIN_VALUE / 2; dp[0][2][1] = Integer.MIN_VALUE / 2;

我們看下完整代碼

publicintmaxProfit(int[]prices){int[][][]dp=newint[prices.length][3][2];dp[0][0][0]=0;//第一天沒進行任何買賣dp[0][0][1]=-prices[0];//第一天買入一支股票//第一天不可能有下面4種情況，所以是無效的dp[0][1][0]=Integer.MIN_VALUE/2;dp[0][1][1]=Integer.MIN_VALUE/2;dp[0][2][0]=Integer.MIN_VALUE/2;dp[0][2][1]=Integer.MIN_VALUE/2;for(inti=1;i<prices.length;i++){//遞推公式//dp[i][0][0]=0;這個可以省略dp[i][1][0]=Math.max(dp[i-1][0][1]+prices[i],dp[i-1][1][0]);dp[i][2][0]=Math.max(dp[i-1][1][1]+prices[i],dp[i-1][2][0]);dp[i][0][1]=Math.max(dp[i-1][0][0]-prices[i],dp[i-1][0][1]);dp[i][1][1]=Math.max(dp[i-1][1][0]-prices[i],dp[i-1][1][1]);//dp[i][2][1]：無效}//要麼沒交易，要麼交易一次，要麼交易兩次，取最大值即可returnMath.max(dp[prices.length-1][0][0],Math.max(dp[prices.length-1][1][0],dp[prices.length-1][2][0]));}

上面的三維數組我們還可以使用4個變量來表示，下面有詳細注釋，具體可以看下

publicintmaxProfit(int[]prices){//類似於dp[i][0][1]，第一次買intbuy1=Integer.MIN_VALUE/2;//類似於dp[i][1][0]，第一次賣intsell1=0;//類似於dp[i][1][1]，第二次買intbuy2=Integer.MIN_VALUE/2;//類似於dp[i][2][0]，第二次賣intsell2=0;for(inti=0;i<prices.length;i++){//遞推公式sell1=Math.max(buy1+prices[i],sell1);sell2=Math.max(buy2+prices[i],sell2);buy1=Math.max(-prices[i],buy1);buy2=Math.max(sell1-prices[i],buy2);}//要麼沒交易，要麼交易一次，要麼交易兩次，取最大值即可returnMath.max(0,Math.max(sell1,sell2));}