說明：十一假期在家裡整理舊文，翻出了這篇文章。文章寫於 2012 年，是讀研前專門整理成文的。這些知識點我已經忘了大半，發出來的原因有二：
（80%）感嘆曾經的我會的可真多；
（20%）希望對別人（在考研的朋友們）多多少少有點幫助。
好的，正文開始。
本文以《小總結一下矩陣的對角化》一文為藍本，重新論述一下考研數學三中矩陣對角化的問題。文中所下的定義以及推導過程只是方便理解，並不嚴謹，也不適用於本文以外的其他地方。所謂矩陣的對角化，就是矩陣通過變換化為對角矩陣的過程。這裡所說的矩陣，其實就僅指方陣。根據變換的類型，對角化可以分為兩類：一類是相似對角化，即將矩陣通過相似變換化成一個對角矩陣的過程，即可逆矩陣 P，使；一類是合同對角化，即將矩陣通過合同變換化成一個對角矩陣的過程，即可逆矩陣 C，使。由於在考研中，「合同」的定義本身是針對實對稱矩陣而言的，因此對於一般的矩陣（方陣），不存在合同對角化的問題。也就是說，一般的方陣只能相似對角化。所有的方陣都可以對角化嗎？什麼樣的方陣可以相似對角化？如果一個方陣已經通過相似對角化化成一個對角矩陣，那麼，這個方陣和對角矩陣應該具有相同的跡（tr）、秩（r）和特徵值（），又因為對角矩陣的特徵值就是對角線上的各個數字，因此，方陣的特徵值就是對角矩陣對角矩陣對角線上的各個數字，即性質 1 一個方陣通過相似對角化形成的對角矩陣必為原方陣的各個特徵值組成的對角陣。在這個基礎上，將定義中的公式先變為，再將可逆矩陣 P 按列分塊，可以發現：性質 2 可逆矩陣 P 必為對應特徵向量組成的矩陣。所謂對應，就是第 i 列特徵值的特徵向量出現在可逆矩陣 P 的第 i 列。對於第一個問題，其關鍵點在於定義中的可逆矩陣 P。根據特徵值那一章的有關知識，我們知道，不同特徵值的特徵向量必然線性無關；又根據可逆的知識，我們知道，可逆矩陣 P 的列向量必然線性無關。所以，只要在每個 k 重（k ≥ 2）的特徵值中找到 k 個線性無關的特徵向量，方陣就可以對角化。具體來看，n 階方陣能夠相似對角化對應着以下幾種情況：線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重根數；容易證明，2、3、4 是矩陣可以相似對角化的充要條件，1、5 是矩陣可以相似對角化的充分條件。對於 5，後面提到實對稱矩陣的時候還會進一步說明。最後，如果一個方陣可以相似對角化，對角化的步驟如下：求出所有特徵值對應的特徵向量，對於非一重根的特徵值，需要找到該特徵值的重根數個線性無關的特徵向量；將所有特徵向量依次排列組成矩陣，對角陣的元素就是對應的特徵值。實對稱矩陣存在着合同的問題，因此實對稱矩陣對角化既存在相似對角化的可能，也存在合同對角化的可能。同樣，對於實對稱矩陣的對角化，也有如下的三個問題：所有的實對稱矩陣都能相似對角化嗎？所有的實對稱矩陣都能合同對角化嗎？合同對角化得到的對角陣與相似對角化得到的對角陣有什麼關係？如何將實對稱矩陣相似對角化？如何將實對稱矩陣合同對角化？實對稱矩陣能夠相似對角化，是因為實對稱矩陣具有一個性質：實對稱矩陣每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重根數（至於這個性質的推導，可以查閱相關資料）。根據之前討論的內容，知道實對稱矩陣可以像一般方陣一樣相似對角化；實對稱矩陣能夠合同對角化，是因為如果我們把實對稱矩陣看成是二次型的矩陣，則二次型一定可以通過配方或坐標變換化為標準型，即實對稱矩陣一定能夠合同對角化。實對稱矩陣和一般的矩陣比起來，不僅可以通過相似得到一個對角陣，還可以通過合同得到另一個對角陣。那麼，這兩個對角陣一定是同一個對角陣嗎？要想知道這個答案，就要去辨析相似和合同的過程有什麼本質的區別。辨析的過程，如果有興趣的同學可以參考《「合同」與「相似」的概念區別[1]》這篇文章（不是我寫的），這裡只說結論。相似和合同的過程本質上並不相同，但在某種程度上，相似是一種特殊的合同。在實對稱矩陣中，相似的矩陣一定合同，合同的矩陣卻不一定相似。回到我們討論的問題中來。由於相似和合同的過程本質上並不相同，通過相似對角化得到的對角陣與通過合同對角化得到的對角陣並不必然相等。但是，既然相似可以看成是一種特殊的合同，也就意味着合同中存在着一種特殊的情況，在這種情況下，合同與相似產生了聯繫。這種特殊的情況可以從定義中發現端倪。我們再看定義：看到這裡，我們不妨大膽猜想，如果 P=C，且，那麼相似對角化和合同對角化就是一樣的。那麼滿足這樣條件的可逆矩陣 C 是什麼矩陣呢？正交矩陣！沒錯，就是正交矩陣。如果這個可逆矩陣是正交矩陣，那麼合同對角化和相似對角化在本質上就是一個。此時用正交矩陣 C 將實對稱矩陣對角化，不僅是將其合同對角化，同時還是相似對角化，達到了兩種對角化的統一。最後，我們討論實對稱矩陣對角化的步驟。這裡需要先考慮二次型化標準型與矩陣對角化的關係。每一個二次型對應着一個實對稱矩陣。在考研中，二次型化標準型主要是通過坐標變換（或者配方）的方法來實現的。按照定義可以發現，命題 1 坐標變換化二次型為標準型將實對稱矩陣合同對角化因此，實對稱矩陣的合同對角化就可以通過相應二次型的配方或者坐標變換來實現（大多數也是這樣實現的）。在坐標變換中，特殊地存在一種正交變換。此時，相當於用正交矩陣將實對稱矩陣合同對角化，也就是既合同又相似對角化。於是有：命題 2 正交變換化二次型為標準型將實對稱矩陣正交相似對角化如果要將實對稱矩陣相似對角化，則按照一般矩陣的相似對角化方法處理；如果要將實對稱矩陣合同對角化，則利用坐標變換或配方化二次型為標準型；如果要將實對稱矩陣既合同又相似對角化，則要將相似對角化中的可逆矩陣 C 構造成一個正交矩陣。那麼這樣的正交陣如何求出的呢？由於實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量相互正交，因此將實對稱矩陣相似對角化後，只需要將重根特徵值的特徵向量正交化（Schmidt 正交化），再將所有特徵向量單位化即可實現。
[1]百度文庫:https://wenku.baidu.com/view/4f7c7a82b9d528ea81c7793b
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