鑽石舞台

在數量關係的備考中，有一個知識點在考試中非常重要，那就是不定方程，這類題型相對比較簡單，因此同學們在備考過程中需要重視。而講到不定方程，可能很多同學都想問，什麼是不定方程呢？小編在這裡給大家解釋一下：

在解釋不定方程之前，首先不得不提到的就是普通方程。相信普通方程同學們都比較熟悉。例如，經常遇到的一元一次方程2x+5=140，1個未知數給1個式子，通過移項可以解出x的值。又例如二元一次方程組

，2個未知數對應2個式子，通過代入消元法或加減消元法可以將方程的解求出來。

那麼什麼是不定方程呢？假如給一個方程2x+3y=5，2個未知數1個方程，如果想去求解這個方程，就會發現解是不固定的，可以是x=1，y=1；或者x=1.75，y=0.5；又或者x=4，y=-1……對於這類未知數個數大於獨立方程個數的方程，稱其為不定方程。

既然不定方程在實數範圍內有無窮多個解，那怎麼求解呢？一般情況下，在考試里求解不定方程是有限定條件的。通常都會把所求未知數限定在正整數範圍內，這樣不定方程由原來的無窮多個解就變成有限個解了。

通過題干要求，發現x和y都在正整數範圍內，最先想到的解法就是從x=1，x=2……代入求解，但是這種方法顯然比較費時費力。有沒有更省時的方法呢？為了縮小嘗試範圍，可以尋找未知數的數字特徵。

首先觀察未知數係數，發現3和6，一個是奇數，一個是偶數。此時可以通過奇偶性來判斷未知數數字特徵。因為42為偶數，6y是偶數，偶數+偶數=偶數，因此3x為偶數，所以x為偶數。而選項中只有2為偶數，確定答案是A。此時利用的是奇偶性。

小結：當未知數前的係數一奇一偶時，可根據奇偶性判定所求未知數的奇偶性，從而快速選擇選項。

那麼如果未知數的係數並非一奇一偶，這時怎麼辦呢？

觀察未知數係數3和7都是奇數，而奇數乘一個數的奇偶性是不確定的。這時觀察未知數係數和常數項，發現7和49都是7的整數倍。7y為7的整數倍，49為7的整數倍，7的整數倍+7的整數倍=7的整數倍，因此，3x也是7的整數倍，從而確定x為7的整數倍，選項中只有B為7的整數倍，因此確定答案是B。此時用到的是整除特性。

小結：當未知數前的係數和等號右邊的常數有公約數時，可根據整除特性判定所求未知數的整除特徵，從而快速選擇選項。

如果利用奇偶性和整除特性都無法解決題目，這個時候怎麼辦呢？

首先觀察未知數係數3和10，符合一奇一偶的特點，由於10y為偶數，49為奇數，因此確定3x為奇數，確定x為奇數，而選項均為奇數，無法判定答案。因此需要進一步確定x的取值範圍。知道10乘一個數，尾數一定是0，而49的尾數是9，尾數9+尾數0=尾數9，因此確定3x一項的尾數為9，所以x的尾數為3。選項中只有B符合條件，確定答案是B。此時用到的是尾數法。

小結：當未知數前的係數是5或10時，可根據尾數判定所求未知數的尾數特徵，從而快速選擇選項。

下面一起來看一看實際考試中會怎麼出題，也檢驗下大家是否掌握了這三種方法！

由於在考試中，題目並不會像上面例題一樣，直接給出方程和「x和y為正整數」的限定條件，一般會賦予x和y現實意義，例如人數、件數、個數等，如下所示：

首先告訴了吊車和叉車的日租金，而且知道了每天的租金總和是10萬元這樣一個比較明顯的等量關係。利用吊車總租金+叉車總租金=10萬元構建等量關係。知道了每輛車的日租金，設租用吊車x輛，叉車y輛。即：

10000x+1500y=100000

求建築公司最多租用了多少輛吊車，也就是求x的最大值。發現式子裡面有兩個未知數，未知數的個數大於獨立方程的個數，所以這個方程是不定方程。而且這裡的x和y是車輛數，所以都是正整數。接下來解不定方程，首先化簡得到

20x+3y=200

由於x和y為正整數，結合前面講到的奇偶性、整除或者尾數法。觀察發現，x係數以及常數項都能被20整除，說明3y是20的整數倍。因此y一定能被20整除。求x最大值，和一定，y要儘量小。y又是20的倍數，所以y最小為20，此時x=7，所以選擇B選項。

只要能夠找到題干中的等量關係，確定未知數的限定條件，掌握不定方程的三種巧解方法，解決不定方程問題自然易如反掌。

寫在最後：獲得成功沒有規律，但是解決不定方程問題有規律！不定方程在任意數範圍內的解是不固定的，但是在正整數範圍內卻有可能得到固定的解。正如數學涉及到的內容是方方面面的、難以全部掌握的，但是在數量關係題目中，卻可以通過學習一些方法，掌握規律，解決問題。最後祝大家前程似錦、前途光明！

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