圖1 石墨烯的能帶結構
在固體物理學中，固體的能帶結構（又稱電子能帶結構）描述了禁止或允許電子所帶有的能量，這是周期性晶格中的量子動力學電子波衍射引起的。材料的能帶結構決定了多種特性，特別是它的電子學和光學性質。今天，小編帶您細數能帶結構的測試方法：
圖2 (a) ARPES 實驗幾何示意圖和(b)光發射過程示意圖
光子入射到樣品，樣品內電子吸收光子發生躍遷，當能量大於表面勢壘(Φ，材料功函數，即樣品阻止價電子逃逸的表面勢壘，通常金屬功函數約為4-5eV)， 電子就存在一定的幾率逃逸出樣品表面，逃逸能量的最大值為hν –Φ（其中hν為入射光子能量）。入射光子（通常來源於氣體放電燈、同步輻射或者激光）入射到樣品，電子被激發，逃逸出來的電子被一個具有有限接收角的能量分析儀收集。在這一過程中，光電子的動能，材料的功函數以及電子的束縛能之和等於入射電子的能量。
角分辨光電子譜通過測量不同初射角度的光電子的動能，就可以得到電子在固體中平行於樣品表面的動量分量。將得到的能量和動量對應起來，就可以得到材料中電子的色散關係。同時，APERES也可以得到能態密度曲線和動量密度曲線，並直接給出固體的費米面。
圖3 Muffin-Tin勢示意圖
正交平面波方法是利用一種簡單的方法把價帶和導帶電子態用平面波展開。展開波函數的基為一組與本徵能量波函數正交的平面波。所以，該方法叫做正交平面波方法（OPW）。該方法克服了描述原子核附近急劇變化的波函數的難題。用類似的方法可組合歸一化的OPW函數描述布里淵區對稱點的平面波。形成晶體空間群不可約表示的基函數。
圖4 平面波
綴加平面波（APW）方法是利用一種所謂Muffin-Tin勢，它由離子位置中心處球對稱的勢的部分加上間隙部分常數勢部分組成，在球對稱勢里一個電子的運動薛定諤方程可以在球極坐標解出。綴加平面波等同於在球形勢對稱區域以外的平面波，它是球簡諧解與球對稱勢中徑向函數的乘積的線性組合。選擇適合的參數來符合可接受的波函數的需要，在球對稱勢的極限時，兩個區域的波函數必須在數值上和它們的對數微分上匹配，該方法最初由Slater(1937)提出，後來計算機技術的發展，可以方便地應用到計算中去。APW函數的數目依賴於晶體結構以及所涉及能帶的類型。通常s和p帶比較快收斂，而d帶較慢收斂。
圖5 拓撲絕緣體能帶結構
格林函數方法，也叫KKR方法（Korringa，Kohn 和Rostoker）。該方法也是假定Muttin-Tin勢再在球對稱勢區域以外帶一個常數勢。波函數設想為被勢本身所散射。所以Korringa(1947)把波函數分成進入和出來兩個分量。Kohn和Rostoker(1954)引入一種積分方程的方法。該積分寫為對所有的Muffin-Tin球的積分。它實際上非常類似於APW方法。KKR方法中必須對所有倒格矢求和，於是可以得到來自不同的球諧振函數的貢獻的久期方程。
贗勢，就是把離子實的內部勢能用假想的勢能取代真實的勢能，但在求解波動方程時，不改變能量本徵值和離子實之間區域的波函數。由贗勢求出的波函數叫贗波函數，在離子實之間的區域真實的勢和贗勢給出同樣的波函數。
贗勢法是用一個有效勢來代替真實勢。對於一些晶體來說，計算Muffin-Tin勢的分布特別繁雜。一種取代的方法是原子勢用一個弱勢來代替，對導帶電子來說，它具有KKR方法情況中同樣的離散振幅。
對於窄禁帶半導體來說，採用k·p微擾方法很有效。這一方法假定晶體在k=0的全部狀態Un（0，r）和能量En（0）都已知，然後根據晶體對稱性採用微擾方法求k=0附近的En（k）的表達式及波函數，在k空間特殊點的能帶結構可以通過實驗求得的禁帶寬度、電子、空穴有效質量等能帶參數來確定，於是從k·p微擾方法就可確定k空間其他點的能帶結構。由於半導體禁帶寬度窄，導帶價帶電子相互作用強，電子自旋軌道相互作用強，用微擾方法可以很好的處理這些作用。因此，k·p微擾對於窄禁帶半導體尤為重要。
迴旋共振就是當半導體中的載流子在一定的恆定磁場和高頻電場同時作用下會發生抗磁共振的現象。將一塊半導體置於均勻恆定的磁場中，設磁場的感應強度為B，若半導體中電子初速度為v，v與B間夾角為Θ，則電子受到的磁場力f為
f=(-e)(v × B)
圖7 電子在恆定磁場中的運動
迴旋共振實驗中，除了在半導體樣品上加一恆定磁場外，還要再施加一個交變電磁場，並讓電分量E垂直於磁場，則電子一方面繞磁場做螺旋運動；另一方面又受到交變磁場作用，當電磁場的頻率與電子的迴旋頻率相同時，它們將不斷被交變電場加速，從而獲得能量，引起共振吸收。
通過測定共振吸收時的電磁場的頻率和磁感應強度B，就可以求得有效質量。通過改變磁場方向，測量共振吸收峰的個數和位置變化，還可以確定能帶極值在布里淵區中的分布，以及能帶面形狀。
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參考資料：
黃昆，固體物理，高等教育出版社；
Nanoscale，2013，DOI: 10.1039/C5NR07705B；
Physical Review，1963，129(1)，138-149；
Physical Review，1966，152(2)，152-158；
Nature Materials，2015，DOI: 10.1038/NMAT4205；
Solid State Communications，152(2012)，1089-1093；
Solar Energy Materials and Solar Cells，45(1997)，385-399。
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