因為底層邏輯在面臨變化的時候，能夠應用到新的變化裡面，會產生出新的方法論。只有掌握了底層邏輯，只有探尋到了萬變中的不變，才能動態地、持續地看清事物的本質。在這個世界上，其實有這麼一樣東西，天生就是一種「底層邏輯」。數學，是用來描述萬物本質的語言，是理解這個世界的底層邏輯。只有從數學上理解了一件事情，你才真正從本質上理解了這件事情。經濟學的盡頭，是數學；物理學的盡頭，是數學；所有自然學科的盡頭，都是數學。看似複雜的商業模式，用一個簡潔的數學公式便可揭示其奧妙。很多棘手的商業問題，利用一些簡單又常見的數學知識就能找到解法。在這本書里，我想和你分享6種和商業高度相關的數學知識：希望這些數學知識，能為你帶來洞察之眼、深思之心，讓你看透商業的本質，在商業世界裡走得更遠，飛得更高。但請相信我，作為數學專業的畢業生，我可以很負責任地說，數學一點都不難。
是不是先脫口而出「三九二十七」，然後用27加90，得出了117？但是你發現沒有，這麼算有個步驟，是你繞不過去的，那就是「三九二十七」。我們所有關於乘法的計算，都是建立在熟練背誦九九乘法口訣的基礎上。但是，你知不知道這個世界上，有一些國家，是不背九九乘法口訣的呢？事實上，全世界靠背誦「九九乘法口訣」來做乘法口算的國家，主要都集中在東亞。而俄羅斯、法國、很多國家，都沒有「九九乘法口訣」。太不可思議了吧？沒有九九乘法口訣，那他們怎麼做乘法呢？俄羅斯人會拿一張紙，把9和13，分別寫在第一行的左邊，和右邊。然後，在第二行，把9翻倍（18），把13減半（6.5）。6.5不是整數，就舍掉小數，只寫6。所以第二行就是18和6。同理，第三行把18翻倍，把6減半，就得到36和3。第四行，再翻倍和減半，就得到72，和1.5。1.5扔掉小數，當1用。於是第四行，就是72和1。然後你看看右邊這一列，有哪幾個是「奇數」。13,3,1，這三個都是奇數。天啊，這也太神奇了吧？就這麼不斷的左邊翻倍，右邊減半，最後把其中幾行一加，就是正確答案？為什麼啊？今天我們不講為什麼。今天就是想告訴你，乘法，其實不止一種。他的計算效率不如九九乘法口訣高。但是，也是準確而有用的。再比如古埃及。古埃及人的乘法，很有意思。9乘以13，怎麼算？公元前3000年，古埃及人是用堆石頭的方式，來計算乘法。他們先在地上堆13個石頭。然後在右邊另放一個做標記。第二行的石頭翻倍，標記也翻倍。第三行在第二行的基礎之上再翻倍。第四行再翻倍。現在我們看看右邊用於標記的石頭，哪幾行加在一起是9個？第一行和第四行？好的。把這兩行的石頭加在一起數一數。看看有多少個？天啊，這也太神奇了吧？就這麼不斷的左邊翻倍，右邊翻倍，最後把其中幾行一加，就是正確答案？為什麼啊？其實不只是農夫乘法，古埃及乘法，這個世界上，還有印度乘法，劃線乘法，等等用來計算乘法的方式。所有這些乘法，都是對的。因為他們都是準確而有用的。但是如果說效率，九九乘法口訣的效率，是很少有別的方式能及的。
九九乘法口訣，是中國人在春秋戰國時期發明的。秦始皇統一中國後，里耶秦簡「九九乘法表」已成了當時的數學教材。13世紀，九九乘法口訣傳入西方國家。但是，中國的1-9，都是單音節。而英語裡的one、two、three……nine，卻有單有雙。所以，很難有節律地背誦中國的九九乘法口訣。俄語就更複雜了。所以，偉大的九九乘法口訣，最終還是只在以中國為主的東亞地區廣泛使用。「九九乘法表」這一偉大發明，賦予了幾乎所有中國人出色的基礎計算能力。如果你知道，你小時候背九九乘法口訣，居然這麼有用時，你是不是背起來也會更加有興趣呢？如果你覺得數學枯燥，而且脫離現實，除了考試之外毫無用處，那是非常可惜的。你錯過了一門連接現象與本質之間的語言，你錯過了理解商業世界最底層邏輯的終極方法。
商業世界的生命體，是企業。和生物世界的個人一樣，企業也需要謀求個體的生存繁衍（競爭），和群體的共生繁榮（合作）。有時候，我們選擇競爭，有時候我們選擇合作。目的都是永續經營。合作競爭，可能是在同一個維度上，也可能是在不同維度上。十個人都在種地，這是同維。大家的貢獻是在同一個維度（種地）上的。但是，如果有人澆水，有人種地，有人運輸，大家貢獻，就是在不同的維度上了。為什麼要理解競爭合作、同維異維？因為理解了這兩件事情，你就能理解什麼是「商業世界的加減乘除」了。比如，你是怎麼安排銷售的工作的？安排10個銷售，每個人都去獨立發展客戶，各自打糧食回家？如果是這樣，你是在用「加法」管理公司。每個銷售，都在用同樣的方式，同樣的權重，對公司的整體業績做貢獻。但是有的公司不是這麼做的。比如貝殼。貝殼管理公司的方式，是乘法。同樣是房產中介，大部分公司是每個銷售獨立作戰。但是，在貝殼的眼裡，這種「散兵游勇」式的「加法管理」，是做不了大事的。為什麼不試試乘法？貝殼把房產中介的工作，分成了10個角色。沒有任何一個人，可以獨立的完成銷售工作，他們有各不相同的分工，然後協作，完成一單。他們對這一單的貢獻維度不一樣（10個維度），權重也不一樣。市場份額總共100%。你拿了20%，我就少了20%。公司定下來今年有2000萬的市場預算。每個產品線報一下，你要多少？產品線A，B，C，……，Z，都覺得自己挺重要，拼命搶，最後合併預算方案的總花費，將近2個億。你說減一減，每個人都愁眉苦臉，振振有詞，說不能減，減了就做不下去了。老闆很痛苦。為什麼會這樣？因為每個產品線的競爭對手，是同維的另一條產品線。這就是：減法思維。可以。但是，請不要和其它產品線搶。試着和你的「營收」搶。預算（支出），和營收（收入），是不同維度的數字。不要讓支出和支出競爭，要讓支出和收入競爭。所有產品線都可以來要預算。但是，這筆預算的年度ROI必須大於2，否則扣獎金。這時，每條產品線的競爭對手，已經不是其它產品線了，而是自己的營收能力。如果這時大家報上來的還是2個億，你可能會笑着去借錢，都要給。因為這說明，團隊們認為自己有能力打敗營收能力這個強大的對手，而不是打敗其他部門的同事。除法的核心，是把兩個關鍵經營數字，分別放在分子分母上，要求一個必須戰勝另一個。每個公司，都有大量的數字。每個數字，都有它獨特的價值。而商業世界的加減乘除，就是從這些數字中，開採出礦藏的最基本手段。
比如，總有人問我一個問題：潤總，我應該招什麼樣的員工，態度好的，還是能力強的？因為這個問題的問法，就是典型的笛卡爾時代之前，把高維問題「降維思考」到一維視角之後，提出的問題。一維，就是一條線。態度好，是這條線的左端。能力強，是這條線的右端。要麼左，要麼右，不可兼得。這就是一維視角。其實不是。中間不是「兼得」。中間是「妥協」。用能力差一點，換態度好一點。兩個都有損失，但兩個都「不太壞」。但是，你想過沒有，態度和能力，是一個維度上的事情嗎？態度本身就是一個維度。這個維度一端如果是「態度好」，那另一端只能是「態度差」。而能力，是另外一個維度。這個維度的一端如果是「能力強」，那另一端只能是「能力弱」。態度和能力，是不應該放在一條線上來做「二選一」的。他們是兩個維度的事情。笛爾卡如果聽到這個問題，他可能會給你畫一張二維直角坐標系，教你從二維視角來思考問題。這個「二維直角坐標系」，用橫軸（能力），和縱軸（態度），把可選的員工，分成了四個象限：明星。能力強，態度也好；小白兔。能力弱，但態度好；土狗。能力弱，態度也差；野狗。能力強，但態度差。當你如果能向笛卡爾一樣「升維思考」，你就會發現，原來這個世界上不僅有能力強、態度差的「野狗」，或者態度好、能力弱的「小白兔」。這個世界上，還有兩個都好的「明星」，以及兩者都不行的「土狗」。明星，小白兔，土狗，野狗。這就是阿里把員工分類的方法，是個典型的二維視角。小白兔為什麼要培養使用呢？小白兔值得培養嗎？是想把小白兔的能力培養好，成為明星嗎？如果這樣，那為什麼野狗不能也「培養使用」呢？把態度調整過來，也培養成明星呢？這時，我們就需要繼續升維思考。在態度、能力兩個維度之上，引入第三個維度：可塑性。我們都想招到明星員工。但是明星員工畢竟是稀缺的。我們身邊遇到最多的是土狗。其次是小白兔。然後是野狗。明星，很多都在大廠的關鍵崗位上，挖不動。把土狗、小白兔、野狗，培養成明星員工，可能才是可行之路。那麼，誰更容易培養？這就涉及到「可塑性」這個維度了。那麼請問，是一個人的能力更可塑，還是一個人的態度更可塑呢？人與人之間，當下的「能力水平」，當然有差別。但是人與人之間「能力天花板」的差異不大。而且，大部分人離自己的天花板，還差很遠。即便是明星。一個人的價值觀，德行，態度，是過去幾十年的人生經歷塑造的。一旦形成閉環，非常難改變。除非是遇到一些重大的人生變故，大部分人會在自己的信仰、價值觀、習慣里走不出來。態度的可塑性比較差。所以，當我們用三維視角看問題，心中放的，就不僅是今天的明星員工，更是未來的明星員工。一套「員工培養體系」，就會建立起來，為公司的發展，不斷「種植」明星員工，而不是「採集」。一旦有了前後，左右，上下，三個維度後，我們混沌的思考，就可以被結構化地被拆分為三個方向進行分別研究，然後再疊加起來深度思考。
先來看一個算式：2³=8。這裡面的3就是指數，8就是冪。而這個2，叫做底數。這種算法，叫做乘方。這兩條算式，看上去沒有問題，也很勵志。但問題是，它忽略了，有些東西的進步，是做不到每天1%的。比如說，勞動力水平。你一天能組裝200個手機。但不管你這一年內怎麼提升自己，一年後都不可能一天組裝756個手機。潤總，我發現餐飲業到今天為止，都沒有一家公司可以占據全國5%以上的市場份額。但互聯網行業，一家公司可以占據70%。說明餐飲行業還有巨大的機會啊。餐飲業有4萬億的市場規模。如果我用互聯網公司的方法進入餐飲業，也干到70%的市場份額，那不就是一家年收入將近3萬億的公司啊？比華為還大好幾倍啊！但，他用互聯網的辦法，就真的能做成一家年收入3萬億的公司嗎？如果你沒有聽說過百勝中國，你一定聽說過它的品牌：肯德基，必勝客，小肥羊，等等。百勝中國，已經是極其受尊敬的餐飲集團了，你去研究它的管理方法，已經是令人嘆為觀止了。但是，依然只占中國餐飲市場的1.5%。在互聯網行業，1.5%的市場份額，你都不好意思和人家打招呼。百勝中國，已經是一家上市公司，有「資本」的加持。百勝中國在互聯網（會員、外賣）上也做了大量創新，所以也有「科技」的賦能。但是，到最後的最後，肯德基的每一塊炸雞，都需要被具體的人炸出來，每一盒漢堡，都需要被具體的人包起來。雖然有資本和科技的加持，但是年收入600億的百勝中國，更重要的依然是「勞動力」。你想象一下，你管理40個員工的時候，是不是已經覺得很難了？管理400就更難了。管理4000，4萬呢？百勝中國管理了44萬員工。如果要做到6000億，占中國餐飲15%的份額，可能就需要440萬員工，甚至更多。科技公司華為，2021年營收6300多億。但是你猜華為有多少員工？科技公司用13萬員工做到6000多億收入。而餐飲業要做到同樣的收入，可能要至少400多萬員工。到目前為止，地球上還沒有一家公司，能管理400萬員工。目前最大的是沃爾瑪，大約230萬。也就是說，在餐飲業，一個以勞動力為主要生產要素的行業，幾乎是不可能出現超過10%市場份額的巨頭的。換句話說，在餐飲業，創業公司的收入，可能就不遵循冪律分布。餐飲業的創業公司的收入，可能會遵循正態分布。
所以，如果讓你選，你要進入哪個行業，選擇哪個賽道？餐飲業，還是互聯網？這是一個非常重要的戰略選擇。在數學規律的作用下，餐飲業，符合正態分布，而互聯網，符合冪律分布。理解了數學裡的指數和冪之後，你才會明白，打打殺殺，都是小事。
方差和標準差，不是那麼顯而易見的概念。但是，他對你從更底層邏輯理解和指導經營管理，又特別重要。所以，請允許我花一點時間，先從數學上稍微解釋一下這兩個概念。假設，X、Y兩家公司，各有5名員工。兩家公司的員工平均收入，都是72萬。但是，每位員工的收入，並不一定是準確的72萬。這時，你能一眼看出，X公司的員工收入，和平均收入的「差距」，要比Y公司大不少。但是，這還是直觀的感受。能不能從這組「個體差異性」數字，算出一個「群體差異性」指標呢？先平方，再均差，這就是我們用來衡量一組數據「差異性」的方法，叫「方差」。有了方差這個指標，現在就算在你面前擺1萬家公司，你也能先給他們先打分，再排序，然後準確地說出任何兩家公司，誰的收入更分散，誰的收入更集中了。X組數據的標準差，就是√536=23.15。Y組數據的標準差，就是√3.6=1.90。有了標準差，我們就可以說X公司的平均工資是72萬，有23.15萬左右的波動。Y公司的平均工資也是72萬，有1.90萬左右的波動。假設，你是一家手機品牌商，新開發了一款前置攝像頭手機，所以需要在表面玻璃上打孔。這個孔的直徑，是7.2毫米。這款手機對你來說，非常重要，所以你找了X、Y兩家代工廠試樣。很快，兩家工廠各自給你交回來5塊打好孔的樣品，並告訴你，孔直徑正好是平均7.2毫米。可是，你測量了每一塊玻璃，發現數據居然各不相同。X工廠就是個坑啊。5毫米，10毫米，10毫米，6毫米，5毫米，沒有一個在7.2毫米附近。你一算，發現標準差是2.32毫米。你的手機，其實經過一定的容錯設計。7.2毫米±0.3毫米其實都可安裝。但是X工廠的產品標準差實在是太大，2.32毫米，以至於沒有一個樣品在容錯範圍內，最後沒有一款產品可以使用。而Y工廠，最小的孔是7毫米，最大的孔是7.5毫米，都在7.2毫米±0.3毫米的容錯範圍內。一看，果然標準差很小，只有0.19毫米。所以，Y工廠的打孔玻璃，都可以用。當然是Y工廠。因為X工廠標準差太高，以至於最後的良品率是0；而Y工廠的標準差控制得很好，良品率是100%。同樣是生產打孔玻璃，我們說Y工廠生產的打孔玻璃：質量更高。標準差更小的產品，質量更高。因為標準差越小，性能越穩定；性能越穩定，質量越高。因為只有量化了的差異性，才是可以比較的差異性，才是可以改進的差異性，才是可以作為健康指標的差異性。
概率，是用於個體的概念，用來「衡量」一件事情，將要發生的「可能」的大小。對於「好的事情」，衡量「運氣」的好壞；對於「壞的事情」，衡量「風險」的大小。統計，是用於群體的概念，用來「計量」一群樣本，滿足條件的「比率」的大小。對於「多的事情」，計量「普遍」的幅度；對於「少的事情」，計量「稀缺」的程度。關於概率與統計還有很多相關的數學概念，我僅舉一例：大數定律。在做諮詢之前，我在科技行業工作了很多年，所以很幸運，共事、或者結識了大量科技行業的同事、朋友、老師。開始做諮詢之後，他們其中有些人離開原來的公司創業，也會來找我聊聊。我會給些自己的建議。甚至，會參與一些投資。有一次，我和五源資本（原來晨興資本）創始合伙人，劉芹聊起這件事。五源資本是中國最著名的VC之一。他們投過的項目，像小米、快手等等，都獲得了相當好的回報。劉芹，給我分享了他的投資經歷。哇，這個創始人太厲害了，這個項目太好了。每個人身上都有閃閃發光的點，每個項目都有獨到之處。當然，有些項目成功了。但是沒想到的是，更多項目失敗了。這個團隊有問題，這個產品有問題，這個股權結構有問題，這個市場定位有問題。如果你想找問題，你一定能找出問題。面對數不清的問題，劉芹說他總是不敢出手。但是，不出手雖然沒有風險，但也因此沒有收益。第三個階段，他開始逐漸形成了一套自己的投資原則。符合這個原則的，再有問題，都是可以投資的；不符合這個原則的，再閃亮的創業者都不碰。這套原則，讓他避開了很多坑。當然，也漏掉了不少好項目。但如果把所有用這套原則投過的項目收益拉平了來看，是成功的。用數學的語言表述，劉芹的「投資原則」，就是一個自己打磨出來的、極其寶貴的「數學期望」公式。每見到一個創業者，他就把創業者的情況代入進去算一下。如果算出來的數學期望為正，就投。數學期望為負，就不投。那麼，會不會數學期望為正的創業者，最後創業失敗；而數學期望為負的創業者，反而成功了呢？但是，如果你投10個，100個，甚至1000個項目後，就會發現這些「個體的不確定」就會被逐漸磨平，慢慢浮現出「群體的確定性」。最後1000個項目的平均收益，無限接近「數學期望」。用最簡單的例子來表述就是，如果擲硬幣得到正面的概率是50%，那麼擲的次數越多，就會有越接近一半的硬幣是正面。因為大數定律，個體的不確定性，被轉化為了群體的確定性。一個專業投資人賺的，其實從來都不是1個項目的巨額收益。那有「個體不確定性」。投資人賺的，是10000個項目的平均收益。那有「群體的確定」。而一個「頂尖的」專業投資人之所以頂尖，是因為他獨有的投資原則的「數學期望」比別人高，同時他對「大數定律」的信仰比別人強。我問劉芹，那你用了多少年，才走到第三階段，找到自己的「投資原則」的呢？聽完後我決定，除非特殊情況，我再也不直接投項目了。我投的這個項目，純粹是上天賞飯吃，靠運氣。
你可能在經濟學的書里看過博弈論，在社會學的課里聽過博弈論。是的，博弈論的應用很廣。但是談博弈論，首先是個數學問題。發明博弈論，以及對博弈論起到巨大貢獻的馮·諾依曼，約翰·納什，都是數學家。關於博弈論的重要概念也有很多，我僅舉一例：收益矩陣。收益矩陣，又叫支付矩陣，又叫報酬矩陣，又叫贏得矩陣，又叫得益矩陣。很多名字，但都有「矩陣」這兩個字。因為一旦決策者從單人，變為至少雙人，決策的結果，就從一維的「得失」，變為二維的「利害關係」問題了。A和B石頭剪刀布。對A來說，出剪刀，石頭，還是布的「得失」最大呢？顯然，這要取決於B出什麼。B的選擇，和A的選擇，共同決定了彼此的「利害關係」。A和B都關心自己的「得失」，但是他們的「得失」交織在一起，構成了這張「利害關係」圖。當A出石頭時，如果B出剪刀，則收益為（1,-1）。但是如果B預判了A的石頭，出了「布」，那收益就變為了（-1,1），情況完全逆轉，變為了A減1分，B加1分。但是如果A預判了B的預判，知道B預判自己出石頭，所以出布，於是就出了剪刀（有點拗口啊），情況就再次逆轉，收益變為（1,-1），A加1分，B減1分。他們拳不動，心在動。兩人在心裡不斷博弈，他們各自的得失，就在這張「收益矩陣」里不斷遊走。6輪之後，又回到原點。每個用「語文」來描述的遊戲規則（Game Rule），翻譯成「數學」，就是一個張收益矩陣的表。決策雙方，在這個收益矩陣里，研究如何擴大自己的贏面。最好穩贏。那麼，在石頭剪刀布的遊戲規則下，這張收益矩陣表里，有誰可以「穩贏」嗎？一個「穩贏」的遊戲，是一個沒有生命力的遊戲。圍棋，象棋，國際象棋，五子棋，這些流傳了幾百上千年的遊戲，都沒有穩贏的策略。因為如果有人能穩贏，那必然會輸掉的一方就不參與了。所以這個遊戲，就流傳不下來。博弈論的很多重要概念，比如收益矩陣、占優策略、納什均衡，都能幫助你更好地理解商業世界的，諸如投廣、進貨等問題。因為博弈論，能幫你研究如何在複數主體下，做戰略決策。
這就是我今天想和你分享的底層邏輯，和6個相關的數學知識。在《底層邏輯2》中，還有更多其他的知識，幫助你建立底層邏輯，解決商業世界的各種問題。但是，借用羅曼·羅蘭的一句話：真正的英雄主義，是看清生活的真相後，依然熱愛生活。最後，我也要感謝機械工業出版社華章公司，和好友們的支持，讓《底層邏輯2》最終成書。最後的最後，我也斗膽邀請你，和我一起通過底層邏輯，看清世界的底牌。
今晚，《底層邏輯2》將在「潤米優選」正式和大家見面。直播期間，我也希望能用「限時5折、定時抽送、限量to簽」的方式，感謝每一位讀者。
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