鑽石舞台

乘法表可以追溯到4000多年前的巴比倫人。最早的十進制的例子出現在大約公元前300年的中國，由竹簡製作的乘法表可以計算小於99.5的整數和半整數的乘積；此外我們可辨認的還有大約公元100年時，尼可馬庫斯（Nichomachus）在他的《算術導論（Introduction to Arithmetic）》中提到的畢達哥拉斯表。

最早的十進位乘法表之一，出現在大約公元前300年的中國，用竹簡構造而成

如今在學校里，乘法表是學生們通過死記硬背和快速記憶練習來學習乘法的工具。雖然有些人認為掌握乘法表本身就是一種成就，但此外它還為學生打下了堅實的數學基礎。讓我們來深入研究一下，從一些有趣的視角來揭示隱藏在乘法表的奧秘。

在解釋什麼是三角形數之前，讓我們看看這個乘法表，以及我們可以用它來做什麼。表中的第一行和第一列都包括了數字1到10，而其他的方格中填充了所在行中的第一個數字與列中第一個數字的乘積。

我們在表格的頂部和左側各添加一行/列0，仍然是一個乘法表，只是便於我們看出下面的一些圖案。

現在，我們把2的倍數（所有的偶數）對應的方格都塗上藍色。這意味着，與2的倍數對應的所有行和列也都是藍色的，這樣我們就得到了一個藍色的網格。不在這個藍色網格中的方格都是白色的。(這裡我們在水平方向和豎直方向將表格擴展到了數字16。)

現在，我們把所有3的倍數的方塊都塗成藍色。和前面一樣，我們得到了一個藍色的網格，其中的行、列均對應於3的倍數。中間剩餘的四個白色方格組成了一個更大的正方形（2×2=4）:

如果我們把所有4的倍數的方塊都塗成藍色，同樣可以得到一個藍色的網格。在這種情況下，藍色網格外的地方構成包含3×3=9個小方格的正方形，這些正方形並不完全是白色的，因為中間的方塊是藍色的。出現這種情況是因為4不是質數。

一般來說，如果你選擇一個正整數k並且用藍色表示乘法表中所有k的倍數，那麼你會得到一個相應的藍色網格，剩下的(k-1)2個小方格會組成一個正方形。k是否為質數決定了這些正方形是純白色還是包含一些藍色小方格。

這很有趣，我們換一個k. 下圖是我們從k=6得到的圖案(你可以很容易地想象k=5的圖案，因為5是質數)。

讓我們看看三角形數如何出現在圖中。三角形數是一種數字，它可以用一組點構成的圖案來表示，這些點排列在一個等邊三角形中，每邊有相同數量、間距相同的點。

例如:

第一個三角形數是1，第二個是1+2=3，第三個是1+2+3=6，第四個是1+2+3+4=10，以此類推。通常，第n個三角形數Tn是從第一個數1到n的和：

我們怎樣才能在乘法表的方格里找到這些神奇的數字呢？首先，讓我們再看一下乘法表，其中3的倍數對應的方格是藍色的。（我們忽略了藍色是2的倍數的乘法表，因為數學家們認為它是平庸的（trivial）：沒有什麼意思）。乘法表中3的倍數塗成藍色之後的第一個白色方塊是這樣的:

把這個白色正方形里的數字加起來得到：

9不是一個三角形數，但它是一個三角形數的平方。準確地說，它是第二個三角形數T2的平方。

現在，我們來看看將乘法表中4的倍數對應小方格塗成藍色之後得到的第一個白色正方形:

把這個正方形里的數字(包括中間藍色小方格里的數字)加起來得到結果：

在這種情況下，和等於第三個三角形數的平方。

用不了多久，你就會發現k=5和k=6也有同樣的規律。

當k=5時，第一個正方形里的數字之和：

當k=6時：

這是一個普遍的規律嗎？

我們把任意一個k的倍數塗成藍色，都是這樣的嗎？如果是，那麼將乘法表中k的倍數塗成藍色之後圍成的第一個正方形內所有數字求和之後，便能求得第k-1個三角形數Tk-1。

我們來看看這是否正確。乘法表中，我們會看到第一行方塊的組成數字是：

第二行由這些數字乘以2:

第三行由第一行中的數字乘以3:

以這種方式一行接一行地繼續下去，直到正方形的最後一行：將第一行的數字乘以(k-1)：

再把這些行中的數字相加：

提出(1+2+3+…+k-1)，式子變成：

如上所述：

因此，我們證明了第一個大正方形內所有數字之和Tk-12等於第k-1個三角形數的平方。

在整數的海洋中，乘法表主對角線（從西北角到東南角）上的紅色數字顯然是平方數——整數的2次方。

乘法表中不僅可以找到三角形數，還可以找到平方數。在前面的介紹中我們知道，乘法表中將數字k的倍數填充為藍色，由這些藍色方格所包圍的正方形中數字之和與一個三角形數有關。方格中數的和等於(2m-1)(2n-1)Tk-12，其中m和n分別表示從頂部和左側算起的方格數目，Tk-1是第k-1個三角形數。

我們可以看到，主對角線(從西北角到東南角)上藍色倍數所包圍的正方形格之和也是平方數。從文章的原始求和公式出發能夠很容易地證明這一點，因為垂直和水平的位置是相同的，我們在公式中只使用m：

如果深入研究乘法表中其他不同尺寸和位置的方格結構，我們可以找到更多的平方數。基於主對角線的方形格子似乎總能產生平方數，而這個平方數與所選方格共有的列指標與行指標之和密切相關。

由第2行第2列的單個方格（橘色部分）得到平方數22=4；第3、4行與第3、4列交疊處有四個方格（紅色），將四個方格中的數字加在一起得到(3+4)2=49；而第5、6、7行與第5、6、7列交疊出有九個方格（綠色），將這九個方格的數字加在一起得到(5+6+7)2=324。

乘法表，左側為行指標，頂部為列指標。

當一個方格由非連續的行和列相交產生時，這似乎也成立。如果我們取第1、4、8行與第1、4、8列的交點，則（分立的）方格的中數字之和是：(1+4+8)2=169.

對於乘法表中三個整數a、b、c定義的方格，可以通過數學運算得出對這三個數都適用的公式。在上面的例子中，方格中的數字之和是：

更一般的有：

通過將相同的行指標(a、b、c)與對應的列指標(a、b、c)相交方格中的數字求和，給出了行/列指標和的平方。這能擴展到4個數字，5個數字，甚至更多嗎?

基於這一知識，我們可以發現一些特殊的模式。例如，讓我們來看看以連續奇數為行指標和列指標對應的行，你會很快發現連續奇數（從1開始）的和等於一個平方數。

因為連續奇數的和是一個平方數，那麼連續奇數對應的行/列指標的和就是一個平方數。那麼行/列指標的和的平方將是一個平方數的平方：即一個數字的四次方。因此，我們可以用這種特殊的格陣形式從乘法表中得到4次方的正整數。

將連續奇數行和連續奇數列交點上的藍色正方形求和會得到4次冪的數。

我們可以使用另一個有趣的結論，一個立方數(一個數的3次方)可以寫成一個連續奇數的和。例如，13=1，23=8=3+5，和33=27=7+9+11.因此，如果我們選擇的是這些連續的奇數行和奇數列的交點的方形格，這些方形格中數字的和將是一個立方數的平方，也就是一個數的6次方。下面的綠色方塊是第3、5行與第3、5列的交點，它們的和是(3+5)2=(23)2=26. 黃色方塊是第7、9、11行與第7、9、11列的交點，它們的和是(7+9+11)2=(33)2=36.

數學老師總是在尋找新的方法來介紹乘法、指數和代數的概念。如果我們跳出思維定式，就會發現乘法表不僅僅是用來記憶乘法表的工具。如果我們選擇潛入湛藍的海水深處，我們將在她的海底發現許多數學寶藏。

作者：

Tony Foster & Sai Venkatesh

Zoheir Barka & the Plus team

翻譯：C&C

審校：zhenni

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/powers-multiplication-table

https://plus.maths.org/content/triangular-patterns

本文經授權轉載自中科院物理所（ID：cas-iop），如需二次轉載請聯繫原作者。歡迎轉發到朋友圈。